☛ Avec une fonction polynôme (1)

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x-2\).
1. Démontrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)=(x-1)^2-3\).
2. Démontrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)\geq-3\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=-3\).
4. Déduire des questions précédentes le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.
5. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a<b\). Montrer que \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-2)\).
6. En utilisant la question 5., démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([1;+\infty[\).
7. En utilisant la question 5., démontrer que la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty;1]\).
8. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution

1. Soit \(x\in \mathbb{R}: (x-1)^2-3=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3=f(x)\).
2. Soit \(x \in \mathbb{R}\).
\(f(x) \geq -3 \Leftrightarrow f(x)+3 \geq 0\)
Or d'après la question 1. : \(f(x)+3=(x-1)^2-3+3=(x-1)^2 \geq 0\)
Donc : \(f(x) \geq -3\)

3. On résout dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=-3\) en utilisant l'expression \(f(x)\) obtenue à la question 1. 

\(\begin{array}{rcl}f(x)=-3 & \Leftrightarrow & (x-1)^2-3=-3 \\& \Leftrightarrow & (x-1)^2=0 \\& \Leftrightarrow & x-1=0 \\& \Leftrightarrow & x=1 \\\end{array}\)
La solution de l'équation \(f(x)=-3\) est \(1\).

4. On déduit des questions 2. et 3. que le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(-3\) et qu'il est atteint pour \(x=1\).

5. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a<b\) .
\(\begin{array}{rcl}f(b)-f(a)&=&b^2-2b-2-(a^2-2a-2) \\&=&b^2-2b-2-a^2+2a+2 \\&=&b^2-a^2-2b+2a \\&=&(b-a)(b+a)-2(b-a)\\&=&(b-a)[(b+a)-2]\\f(b)-f(a)&=&(b-a)(b+a-2)\end{array}\)

6. On considère deux nombres \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([1;+\infty[\) tels que \(a<b\) . On en déduit que :

• \(a\geq1\) puisque \(a\in [1;+\infty[\)
• \(b\geq1\) puisque \(b\in [1;+\infty[\)
• \(b-a>0\) puisque \(a<b\)

Donc \(a+b\geq2\) ce qui équivaut à \(a+b-2\geq0\).
Alors \(f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2)\geq0\), comme produit de deux facteurs positifs.
\(f(b)-f(a)\geq0 \Leftrightarrow f(a)\leq f(b)\)
Finalement, on vient de prouver que, pour tous nombres \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([1;+\infty[\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\leq f(b)\).
Ceci prouve que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([1;+\infty[\).

7. On procède comme dans la question 6.

8. Voici le tableau des variations de \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) :